E-L Equation

准备搞明白泛函

无人机的动力学系统

• 运动轨迹方程与E-L方程
  • 高阶E-L方程
    • For $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x, \dot x, \ddot x, \dotsc, x^{(n)})dx$
    • 这里的$\dot x$为x的一阶导数，即速度，由于在力学领域，经常使用$\dot x, \ddot x$的形式描述高阶导数(牛顿导数记号)，这里也一并改为此种写法
    • E-L : $\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial F}{\partial \dot x}) + \frac{d^2}{dt^2}(\frac{\partial F}{\partial \ddot x}) - \frac{d^3}{dt^3}(\frac{\partial F}{\partial x^{(3)}}) + \dotsc +(-1)^n \frac{d^n}{dt^n}(\frac{\partial F}{\partial x^{(n)}})= 0$
    • 计算例子
      • 求解从时间$0$到时间$t$, 速度的平方最小的函数, 即，一阶动力学问题
        • $J[x(t)] = \int_{0}^{T}\dot x^2dt$
        • $F = \dot x^2$
        • 利用E-L方程
        • $$ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}F-\frac{d}{dt}(\frac{\partial F}{\partial \dot x}) &= 0\\ 0 - 2\ddot x &= 0\\ x &= c_0t+c_1&\text{匀速直线运动}\\ \end{aligned} $$
      • 求解从时间$0$到时间$t$, 加加速度的平方最小的函数, 即，三阶动力学问题
        • $J[x(t)] = \int_{0}^{T}(x^{(3)})^2dt$
        • 此时的E-L方程
          • $$ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot x}) + \frac{d^2}{dt^2}(\frac{\partial F}{\partial \ddot x}) - \frac{d^3}{dt^3}(\frac{\partial L}{\partial x^{(3)}}) &=0\\ 0 - 0 + 0 - 2x^{(6)} &= 0\\ x &= c_0t^5 + c_1t^4+c_2t^3 +c_3t^2 + c_4t+c_5 \end{aligned} $$
        • 求解参数
          • 边界(Boundary condition)
            • $$ \begin{cases} [x, \dot x, \ddot x]\big |_{t=0} &= [a, 0, 0]&\text{假定初始速度为0，初始加速度为0，初始位置为a}\\ [x, \dot x, \ddot x]\big |_{t=T} &= [b, 0, 0]&\text{假定终止速度为0，终止加速度为0，终止位置为b} \end{cases} $$
          • 列出求解矩阵
            • $$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x(0)\\x(T)\\\dot x(0)\\\dot x(T)\\\ddot x(0)\\\ddot x(T) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\\b\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&1\\ T^5&T^4&T^3&T^2&T&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 5T^4&4T^3&3T^2&2T&1&0\\ 0&0&0&2&0&0\\ 20T^3&12T^2&6T&2&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0\\c_1\\c_2\\c_3\\c_4\\c_5 \end{bmatrix} \end{aligned} $$
          • 解出$c_0 ~ c_5$即可
            • $$ \begin{bmatrix} &\frac{6 b}{T^{5}}-\frac{6 a}{T^{5}}\\ &\frac{15 a}{T^{4}}-\frac{15 b}{T^{4}}\\ &\frac{10 b}{T^{3}}-\frac{10 a}{T^{3}}&\\ &0\\ &0\\ &a \end{bmatrix} $$
          • 得到的位置，速度，加速度曲线如下(a=0, b=1, T=50)
            • 
  • 多维E-L方程
    • For $J[x(t), y(t)] = \int_0^TF(t, x, y, \dot x, \dot y)dt$
    • E-L: $\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial F}{\partial \dot x}) &= 0\\ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial F}{\partial \dot y}) &= 0 \end{aligned}$
    • 使用例子
      • 手臂动作协调: 实验验证的数学模型： The coordination of arm movements: an experimentally confirmed mathematical model - Tamar Flash, Neville Hogan 1985
        • $J[x(t), y(t), \theta(t)] = \int_{0}^{T}[(x^{(3)})^2+(y^{(3)})^2+(\theta^{(3)})^2]dt$
  • 多段轨迹[增加约束条件]
    • 使物体依次通过m个点，但由于运动时无法忽略惯性作用，因此我们需要增加速度约束
    • For $\begin{aligned} t&=\begin{bmatrix} t_0& t_1&\dotsc t_m \end{bmatrix}^T&\\ x&=\begin{bmatrix} x_0& x_1&\dotsc x_m \end{bmatrix}^T& \end{aligned}$
    • $J[x(t)] = [\int_{t_0}^{t_1}(\ddot x^2)dx + \int_{t_1}^{t_2}(\ddot x^2)dx + \dotsc +\int_{t_{m-1}}^{t_m}(\ddot x^2)dx]$
    • 分段求解，得到 $\begin{aligned} x(t) = \begin{cases} x_1(t) &= c_{10}t^3 + c_{11}t^2 + c_{12}t + c_{13}&t_0\le t\le t_1\\ x_2(t) &= c_{20}t^3 + c_{21}t^2 + c_{22}t + c_{23}&t_1\le t\le t_2\\ \dotsc\\ x_m(t) &= c_{m0}t^3 + c_{m1}t^2 + c_{m2}t + c_{m3}&t_0\le t\le t_m\\ \end{cases} \end{aligned}$
    • 为了求解$4m$个变量$c_{ij}$，我们需要$4m$个方程[约束]来进行确定
      • 有位置方程
        • $x_n(t_{n-1}) = x_{n-1}$ 前一个$x$是方程，后一个$x$是值, 共$m$个
        • $x_n(t_n) = x_n$, 共$m$个
      • 有速度方程[通过某一点，速度不变]
        • $\dot x_n(t_n) = \dot x_{n+1}(t_n)$ 共$m-1$个
        • $\dot x_1(t_0) = 0$ \ 终点停止
      • 有加速度方程[加速度连续，不存在阶跃的情况]
        • $\ddot x_n(t_n) = \ddot x_{n+1}(t_n)$ 共$m-1$个
        • $\dot x_1(t_m) = 0$ \ 终点停止
      • 共4m个方程组
      • 利用以上方程组即可求解