Install RemoteView.docker, Finish Dynamic System Control[1]

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尝试安装 remoteview

  • 搞定浏览器嵌套
  • docker
  • github

      docker -v pull dosyago/browsergapce:2.5 # from other has access to internet
      docker save -o remoteview.docker dosyago/browsergapce:2.5
      docker load -i remoteview.docker  # at ucas server
      wget https://raw.githubusercontent.com/c9fe/ViewFinder/master/chrome.json
      docker run -d -p 8002:8002 --security-opt seccomp=$(pwd)/chrome.json dosyago/browsergapce:2.5
    
  • nginx

      rewrite_log on;
      proxy_pass http://127.0.0.1:8002/;
      proxy_redirect / /browser/;
      rewrite ^(?!/browser)/?(.*)$ /browser/$2 last;
      proxy_http_version 1.1;
      proxy_set_header Upgrade $http_upgrade;
      proxy_set_header Connection "upgrade";
      proxy_set_header Origin "";
      sub_filter '/api/v1/tabs' '/browser/api/v1/tabs';
      sub_filter 'login' 'browser/login';
      sub_filter_types *;
      sub_filter_once off;
    
  • 20210724144046

准备搞明白泛函

无人机的动力学系统

  • 从问题到思路
    • 实际问题[由浅入深]:
      1. 一个4旋翼无人机从空间中A点到B点需要的动力输出方程应该如何设计
      2. 一个4旋翼无人机从空间中A点到B点再到C点中,不希望再B点停留(hover),动力输出方程应该如何设计
      3. 多个无人机如何先后通过某一点而不发生碰撞
    • 转化为抽象子问题[由浅入深]
      1. 假定我们可以在任意时刻指定任意大小的速度1阶动力学问题
        1. 在2D或3D空间内从A点到B点需要的速度方程
      2. 假定我们可以在任意时刻指定任意大小的加速度推力2阶动力学问题
      3. 假定我们可以在任意时刻指定任意大小的加加速度给定电压条件下推力随电压持续增加或减少3阶动力学问题
    • 需要解决的数学子问题
      • 使用Euler-Lagrange Equation[欧拉-拉格朗日方程] 求解
      • 变分法推导Euler-Lagrange Equation[欧拉-拉格朗日方程]
      • 惯性系(body-fixed frame)与旋转矩阵
  • 变分法与泛函
    • 参考文章
    • 泛函
      • 对等概念
        • 函数: 值->值 运算
        • 泛函: 函数->值 运算 即函数的函数
        • 求解函数极值,即寻找函数中的最大值或最小值
        • 求解泛函极值,即寻找一种函数的形式,使得这样的函数形式有最大值或最小值
      • 泛函形式
        • 一般常见的形式
          • $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x, y, y’)dx$
          • 即,从$x_0$到$x_1$的曲线积分值
          • 这里的基本假设,$y’$存在,即寻找一条光滑曲线以达到特定极值
          • 下方E-L方程推导过程中的证明中有使用$y’’$,因此,特定公式的成立,可能需要依赖其他条件
          • 如果存在导数不存在或者是折线的情况就要更一般的考虑
        • 其他假设下的形式
          • $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x, y, y’, y’’, y’’’, \dotsc)dx$
          • 这里就假设$y’’‘$甚至更高的导数存在
      • 求解例子[由浅入深]
        1. 两点之间的最短路径
          1. 曲线的微元$ds = \sqrt{1 + \frac{dy}{dx}^2}$
          2. 曲线长 $S = \int_{x_0}^{x_1}ds = \int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{1 + y’^2}dx}$
          3. 问题等价为找到一个函数$y$使$S$最小
          4. 泛函式$J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(y’)dx$
        2. 最速曲线问题
          1. 能量守恒 $\begin{aligned} \frac{1}{2}mv^2&=mgy\\ v^2 &= 2gy \end{aligned}$
          2. 速度公式 $v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{1+y’^2}{dt}}dx$
          3. $dt = {\sqrt\frac{1+y’^2}{v}}dx = \sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}dx$
          4. $x_0$到$x_1$的时间为$t = \int_{x_0}^{x_1}dt = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}dx$
          5. 问题等价为找到一个函数$y$使$t$最小
          6. 泛函1式$J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(y, y’)dx$
    • 变分 [Calculus of variations]
      • 函数的变分
        • 在定义域$[x_0, x_1]$, $\delta y = y(x) - y_0(x)$称为函数$y(x)$在$y_0(x)$处的变分
        • $y_0$为另一可取函数
        • 变分即为两个函数相减产生的新的函数,新函数$\delta y$在定义域$[x_0, x_1]$出随$x$变化
      • 泛函的变分
        • 最简泛函的变分
        • $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x, y, y’)dx$
        • $F$为最简泛函的核
        • $$ \begin{aligned} \Delta J &= J[y_0(x)] - J[y(x)]\\ &= J[y(x) + \delta y] - J[y(x)]\\ &= \int_{x_0}^{x_1}[F(x, y+\delta y, y' + \delta y') - F(x, y, y')]dx\\ &= \int_{x_0}^{x_1}(F_2\delta y + F_3\delta y')dx + \dotsc + \int_{x_0^{x_1}}[\frac{1}{n!}(\delta y\frac{\partial}{\partial y} + \delta y'\frac{\partial}{\partial y'})^n]dx &\text{多元函数的泰勒展开}&\\ &&\text{$F_1, F_2, F_3$} 为偏导数&\\ \end{aligned} $$
        • 其中$\int_{x_0}^{x_1}(F_2\delta y + F_3\delta y’)dx$称为泛函的变分,记为$\delta J$
    • 利用变分法求解泛函极值(极值存在的函数形式)
      • 假设$y(x)$为我们要出来的函数
      • 那么$y(x) + \delta y$为$x_0$到$x_1$的所有可能形式
      • 记$\tilde{y}(x) = y(x) + \delta y = y(x) + \epsilon \eta(x)$
      • 其中$\eta(x)$为满足$\eta(x_0) = \eta(x_1) = 0$的任意函数
      • $\epsilon$为一个常量
      • $\epsilon = 0$时,$\tilde y(x)$即为所求函数
      • 记$\Phi(\epsilon) = J[\tilde y(x)] = J[y(x) + \epsilon \eta(x)] = \int_{x_0}^{x_1}F(x, y(x) + \epsilon \eta(x), y’(x) + \epsilon \eta’(x))dx$
      • 我们希望$\Phi(\epsilon)$在$\epsilon = 0$时取极值
      • 则$\Phi’(\epsilon)\big _{\epsilon =0 } = 0$
      • $$ \begin{aligned} \frac{d\Phi}{d\epsilon} &= \int_{x_0}^{x_1}F_2[x, y(x) + \epsilon \eta(x), y'(x) + \epsilon \eta'(x)]\eta(x) + F_3[x, y(x) + \epsilon\eta(x), y'(x)+\epsilon\eta'(x)]\eta'(x)dx\\ &=\int_{x_0}^{x_1}[F_2\eta(x) + F_3\eta'(x)]dx&\text{令$\epsilon = 0$}\\ &=\int_{x_0}^{x_1}F_2\eta(x)dx + \int_{x_0}^{x_1}F_3\eta'(x)dx\\ &=\int_{x_0}^{x_1}F_2\eta(x)dx + \int_{x_0}^{x_1}F_3d\eta(x)&\text{分部积分法}\\ &=\int_{x_0}^{x_1}F_2\eta(x)dx + F_3\eta(x)\big|_{x_0}^{x_1} - \int_{x_0}^{x_1}\eta(x)\frac{dF_3}{dx}dx&\text{这里要求$F_3存在对x的导数$}\\ &=\int_{x_0}^{x_1}(F_2\eta(x) - \eta(x)\frac{dF_3}{dx})dx + F_3\eta(x)\big|_{x_0}^{x_1}\\ &=\int_{x_0}^{x_1}[F_2 -\frac{dF_3}{dx}]\eta(x)dx&\text{$\eta(x_0) = 0, \eta(x_1) = 0\rightarrow F_3\eta(x)\big|_{x_0}^{x_1} = 0$}\\ &=0&\text{\textcircled 1} \end{aligned} $$
      • 引理
        • $f(x)$在$[x_0, x_1]$内连续,$\eta(x)$是满足$\eta(x_0)=0,\eta(x_1)=0$的任意函数
        • 若$\int_{x_0}^{x_1}f(x)\eta(x)dx = 0$
        • 则对所有的$x\in[x_0, x_1]$,有$f(x)\equiv0$
        • 证明:
          • 反证法, 设$f(x)$不恒为0
          • 取$\eta(x) = -f(x)(x-x_0)(x-x_1)$
          • 取$x_0\lt x\lt x_1$, 所以$(x-x_0)(x-x_1)\lt 0$
          • 所以$\int_{x_0}^{x_1}f(x)\eta(x)dx = \int_{x_0}^{x_1}-f(x)^2(x-x_0)(x-x_1)\gt 0$
          • 与预设矛盾,因此$f(x)\equiv 0$
      • 利用上述引理
        • $\text{\textcircled 1}$式
        • $\int_{x_0}^{x_1}(F_2-\frac{dF_3}{dx})\eta(x)dx = 0$
        • $F_2-\frac{dF_3}{dx} = 0$
        • Euler-Lagrange Equation[欧拉-拉格朗日方程]
        • $\frac{\partial}{\partial y}F - \frac{d}{dx}(\frac{\partial}{\partial y’}F) = 0$
      • Euler-Lagrange Equation[欧拉-拉格朗日方程]表示,极值函数的存在形式一定满足该条件
  • 利用E-L求解
    1. 两点间最短距离
      • $$ \begin{aligned} J[y(x)] &= \int_{x_0}^{x_1}{\sqrt{1 + y'^2}dx} \\ F&=\sqrt{1 + y'^2}\\ \frac{\partial F}{\partial y} &= 0\\ \frac{\partial F}{\partial y'} &= \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\ E-L: 0 - \frac{d}{dx}[ \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}] &= 0\\ \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} &= C\\ y' &= \sqrt{\frac{C^2}{1-C^2}} = C_0\\ y & = C_0x + C_1 \end{aligned} $$
      • 因此是导数为常数的直线
    2. 最速降线问题
      • $J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{\frac{1+y’^2}{2gy}}dx$
      • 引理(在$x$不存在时的简便计算法)
        • $$ \begin{aligned} F(y, y')&= \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\\ \frac{d}{dt}(F - y'F_2) &= \frac{d}{dt}F - \frac{d}{dt}(y'F_2)\\ &=[y'F_1 + y''F_2] - [y''F_2 + y'\frac{d}{dt}F_2]&\text{这里要求$y''$存在}\\ &=y'F_1-y'\frac{d}{dt}F_2\\ &=y'[F_1-\frac{d}{dt}F_2]\\ &=0&\text{here $F_1=\frac{\partial F}{\partial y}, F_2=\frac{\partial F}{\partial y'}$, hence $F_1-\frac{d}{dt}F_2 = 0$ 为EL方程 }\\ \therefore F - y'F_2 &= C &\text{here $C$为常数} \end{aligned} $$
      • $$ \begin{aligned} F - y'F_2 &= \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}} - y'\frac{2y'\frac{1}{2}(1+y'^2)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2gy}}\\ &=\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}} - \frac{y'^2}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}\\ &=\frac{1+y'^2}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}} - \frac{y'^2}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}\\ &=C&\text{利用上面的引理}\\ \therefore y(1+y'^2) &= \frac{1}{2gC^2} \end{aligned} $$
      • 解得(积分表或换元$y’=\cot\frac{\theta}{2}$), 摆线
        • $$ \begin{cases} x&=\frac{C}{2}(\theta - \sin\theta)\\ y&=\frac{C}{2}(1-\cos\theta) \end{cases} $$
  • 约束
    • 指求解时需要满足的条件
    • 求解例子
      • 两点间最短路径
        • $$ \begin{cases} y(x_0)&= y_0\\ y(x_1)&= y_1\\ \end{cases} $$
        • 代入$y = C_0x$
        • 得到$C_0 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$
      • 最速降线
        • $$ \begin{cases} y(x_0)&= y_0\\ y(x_1)&= y_1\\ \end{cases} $$
        • 代入 $\begin{cases} x&=\frac{C}{2}(\theta - \sin\theta)\\ y&=\frac{C}{2}(1-\cos\theta) \end{cases}$
        • 得到 $\begin{aligned} y' &= \cot\frac{\theta}{2}\\ A(x,y) &= \theta^2\\ B(x,y) &= 4x\theta + 4y\\ D(x,y) &= 4(x^2+y^2)\\ C&=\frac{D_1A_2 - D_2A_1}{B_1A_2 - B_2A_1} \end{aligned}$